单位分数的拆分公式 原理

数学中的某些理论好像都是一个个散落的珍珠，能否把它们统一在一起，这正是我感兴趣的。

把一个单位分数拆分成几个单位分数之和，至少有如下两个不同的形式：

1、分母裂项拆分基本公式之一：1/n = (n+1)/[n(n+1)]=1/(n+1)+ 1/[n(n+1)]——-（1）

2、分母裂项拆分基本公式之二：1/n= (n+k1+k2+k3+…+kn)/[n(n+k1+k2+k3+…+kn)]——（2）

（其中k1、k2、k3、…kn都是n的因数之一）

（以上基本数理来自于网络）

思考的起点图

许多的问题总会接连不断地浮现，总希望能找出思考的头绪：

1、它们的根源从何而来？

2、如何用最通俗的语言来描述？

3、每种数理包括哪些基本知识？

如何放在一个数理框架下进行讨论呢？

先看以下几个基本知识的概念：

（1） 单位分数定义：我们把分子是1、分母是自然数的分数叫单位分数，记成1/n。

（2） 真分数：分子和分母都是正整数，分子小于分母的分数，它们都大于0而小于1。大于0而小于1的分数叫做真分数。

（3） 假分数：分子和分母都是正整数，分子等于分母或分子大于分母的分数，它们等于1或大于1，等于1或大于1的分数叫作假分数。

（从单位分数概念中分析得出“1/1=1”是假分数，在真分数中1/2是最大的单位分数，所以下面的单位分数中分母都从2开始，只讨论真分数形式。）

（4） 分数基本运算方法（或法则）之一：分子分母同乘（或除以）一个不为0的数，其分数值不变。

通过对上面的分数基本运算方法（或法则）进行分析，基本表达式如下：

1/n = m/(mn) （m＞0 m,n∈N(自然数）)———(3)

（即：分子分母同乘（或除以）一个不为0的数，其分数值不变。）

接下来对(3)式进行变形：

1、设m=n+k, k∈N(自然数）其(3)式基本形式变化如下：

1/n = (n+k)/[n(n+k)] =1/(n+k)+ k/[n(n+k)]——-（4）

1）设k=1时，（4）式就变成了如下形式：

1/n = (n+1)/[n(n+1)]=1/(n+1)+ 1/[n(n+1)]——-（1）

这就是开头的分母裂项拆分的基本公式之一。

所以（1）式就是从（3）式中演绎出来的特例：

（备注：演绎推理是由一般到特殊的推理方法。）

演绎推理：从一般表达式“1/n = m/(mn)”开始，先是对m分类（或限定），当满足“m=n+k”条件时，再对k分类（或限定），当满足“k=1”这个条件时就成立了。

因此m=n+1只是“1/n = m/(mn)”表达式中，m取值的一个特例。

为什么要将m变成“m=n+1”呢？如何用最通俗的语言来描述？

再看下面几个基本知识的概念：

1、 因数（或约数）与倍数定义：设a,b是整数，b≠0。如果有一个整数C,它便得a＝bc,则a叫做b的倍数， b叫做a的因数。

单位分数的表达基本形式其分子只能是1.因此分子不为1时，则分子必定是分母的约数。

这就是对因数（或约数）知识点的运用。

例如因数（或约数）概念中：c/a=c/bc=1/b. （b≠0，c≠0）那么“1/b”就是单位分数的表达基本形式。

2、 素数（或质数）与合数：质数又称素数。一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做质数；否则称为合数。（规定1既不是质数也不是合数）。

通过对上面素数（或质数）与合数的概念分析，我们知道对于任何自然数“1”和“它自身”都是这个自然数的约数。

因此对于任何自然数都有如下表达方式：

n=n*1（任何数乘以1都等于这个数本身）

m=n+1 则m刚好等于“n=n*1”中“n的两个因数（或约数）n与1”的和。

思考结论：单位分数拆分与这个数本身的因数（或约数）有关。n与1都是n的因数（或约数）。它们从素数（或质数）与合数的概念中得来。

当m=n+1时：

1/n = (n+1)/[n(n+1)]=1/(n+1)+ 1/[n(n+1)]——-（1）

对（1）式举例说明。

例如：

1/7=（1+7）/[7*（7+1）]

=(7+1)/(7*8)

=1/8+1/56 (对（1）式运用一次,便将“单位分数1/7拆分成2个单位分数之和”)

=9/(8*9)+1/56

=(8+1)/(8*9)+ 1/56

=1/9+1/72+ 1/56

(再次对（1）式运用,便将“分数单位分数1/7拆分成3个单位分数之和”。

或者将1/56 拆分“ =1/8+1/ (56+1)/[56*(56+1)]=1/8+1/57+1/3192” )

……

由此可见：用这种拆了又拆，不断递进的拆分方法，可以将任何一个单位分数拆分成N个单位分数之和。

即然m=n+1只是一种特例,有没有其它的特例呢?

显然合数的因数（或约数）就不只有”1”与”它本身’，因此就会产生新的拆分方式。

先看算术基本定理：

算术基本定理定义

从算术基本定理定义中可以看出，就是讲合数的标准分解式。

例如:

10=2*5，2、5两个数都是素数。符合N 的标准分解式。

10=1*10，这种形式就“m=n+1”的形式，即满足表达式（1）

因此k至少可以选择：1、2、5、10

由于“分子分母同乘（或除以）一个不为0的数，其分数值不变。”

其基本数理如下：

1/n = m/(mn) （m＞0 m,n∈N(自然数）)———(3)

当m=n+k时

1/n = (n+k)/[n(n+k)] =1/(n+k)+ k/[n(n+k)]——-（4）

k取n的某个因数（或约数），如下：

1、 当n=10，k=1时,

1/10=（10+1）/(10*11)=1/11+1/110

2、 当n=10，k=2时

1/10=（10+2）/(10*12)=1/12+1/60

3、 当n=10，k=5时

1/10=（10+5）/(10*15)=1/15+1/30

4、 当n=10，k=10时（特殊情况）

1/10=（10+10）/(10*20)=1/20+1/20

（这里便是两个分母一样，是常见的“一分为二”）

上面的是m=n+k，m是n的基础上再加某个数k，k为n的某个因数（或约数）。

下面再看k的另一种情况：

m=k，(这里的K不是一个数，而是与n有关的两个因数的和)

1、 当k=1+2,

1/10=（1+2）/(10*3)=1/30+1/15

2、 当k=1+5

1/10=（1+5）/(10*6)=1/60+1/12

3、 当K=2+5

1/10=（2+5）/(10*7)=1/35+1/14

以上便是“单位分数1/10拆分成2个单位分数之和”的几种情况。（仅供参考）

对于K的拓展就可以知道：

m=k, (这里K不是一个数，而是与n有关的3个因数的和。)

1、 当k=1+2+5,

1/10=（1+2+5）/(10*8)=1/80+1/40+1/16

2、 当k=1+2+10

1/10=（1+2+10）/(10*13)=1/130+1/65+1/13

3、 当K=1+5+10

1/10=（1+5+10）/(10*16)=1/160+1/32+1/16

4、 当K=2+5+10

1/10=（2+5+10）/(10*17)=1/170+1/34+1/17

以上便是“单位分数1/10拆分成3个单位分数之和”的几种情况。（仅供参考）

当K是n有关的4个因数的和时，显然有：

当K=1+2+5+10

1/10=（1+2+5+10）/(10*18)=1/180+1/90+1/36+1/18

思考结论总结：单位分数拆分与这个数本身的因数（或约数）有关。只与的k取值有关，k是n的两个因数或多个因数之和。

基本数理是：

分数计算法则之一：分子分母同乘（或除以）一个不为0的数，其分数值不变。

基本表达式如下：

1/n = m/(mn) （m＞0 m,n∈N(自然数）)———(3)

(其中m=k,k是n的两个或多个因数（或约数）的和)

除了上面的这种方法以外,还有一种对m倍增的方法。（个人爱好，仅做思考拓展。）

基本数理是：

分数计算法则之一：分子分母同乘（或除以）一个不为0的数，其分数值不变。

具体表达式如下：

1/n = m/(mn) （m＞0 m,n∈N(自然数）)———(3)

m=ki, (第一个K1 =K， K2=2^(2-1)* K, K3= 2^(3-1)*K…ki=2^(i-1)*k,其中k是n的两个或多个因数（或约数）的和)

例如：

当n=7,k=1+7=8

1、 当K1=k=1+7=8时,（这里K1=k）

1/7=(1+7)/(7*8)=1/8+1/56

2、 当K2=2^(2-1)*K=2* （1+7）=16时,（可以理解为K2是K1的2倍，是K的2倍）

1/7=(1+7+8)/(7*16)=1/112+1/16+1/14

3、 当K3=2^(3-1)*K=2^2*（1+7）=32时,（可以理解为K3是K2的2倍，是K的4倍）

1/7=(1+7+8+16)/(7*32)=1/224+1/32+1/28+1/14

4、 当K4=2^(4-1)*K=2^2*（1+7）=64时,（可以理解为K4是K3的2倍，是K的8倍）

1/7=(1+7+8+16+32)/(7*64)=1/448+1/64+1/56+1/28+1/14

……

先看完全数定义：它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和（即因子函数），恰好等于它本身。如果一个数恰好等于它的真因子之和，则称该数为“完全数”。 例如：第一个完全数是6，它有约数1、2、3、6，除去它本身6外，其余3个数相加，1+2+3=6。

用这种方法,对于单位分数中分母为“完全数”有如下拆分：

当n =6,k=1+2+3

1、 当K1=k=1+2+3=6时

1/6=(1+2+3)/(6*6)=1/36+1/18+1/12

2、 当K2=2^(2-1)*K=2* （1+2+3）=1+2+3+6=12时（其中K2是K1的2倍）

1/6=(1+2+3+6)/(6*12)=1/72+1/36+1/24+1/12

3、 当K3=2^(3-1)*K=2^2*(1+2+3)= 1+2+3+6+12=24时（其中K3是K2的2倍）

1/6=(1+2+3+6+12)/(6*24)=1/144+1/72+1/48+1/24+1/12

4、 当K4=2^(4-1)*K=2^3* (1+2+3)= (1+2+3+6+12+24)=48时（其中K4是K3的2倍）

1/6=(1+2+3+6+12+24)/(6*48)=1/288+1/144+1/96+1/48+1/24+1/12

……

总结如下:

单位分数拆分演绎图

如有不当之处，敬请斧正！

题外话：

将分数拆分成几个单位分数之和的作用是什么？

仁者见仁，智者见智，每个人的理解可能都不一样。

例如有一个题：把7个面包分给8个人，解答的形式是7/8=1/2+1/4+1/8.从式子中可以看出，应该把面包切成这样的几份：把4个面包每个切成两份，2只面包都切成四份，一只面包切成8份。（摘抄于<数学简史>第25页）

本文中包括以下数学知识点：

1、 分数分为三类：真分数、假分数、带分数

1） 真分数：分子和分母都是正整数，分子小于分母的分数，它们都大于0而小于1。大于0而小于1的分数叫做真分数。

2） 假分数：分子和分母都是正整数，分子等于分母或分子大于分母的分数，它们等于1或大于1，等于1或大于1的分数叫作假分数。

3） 带分数：整数后面带有分数叫做带分数。(可以当是假分数的另一种形式。)

2、 单位分数定义：我们把分子是1、分母是自然数的分数叫单位分数，记成1/n。

3、 分母裂项拆分基本公式之一：1/[n(n+1)]=(1/n)- [1/(n+1)]。

4、 分数计算法则之一：分子分母同乘（或除以）一个不为0的数，其分数值不变。

5、 算术基本定理可表述为：任何一个大于1的自然数 N,如果N不为质数，那么N可以唯一分解成有限个质数的乘积N=P1^a1P2^a2P3^a3……Pn^an，这里P1<P2<P3……<Pn均为质数，其中指数ai是正整数。这样的分解称为 N 的标准分解式。

6、 素数（或质数）与合数：质数又称素数。一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做质数；否则称为合数。（规定1既不是质数也不是合数）。

7、 因数（或约数）与倍数定义：设a,b是整数，b≠0。如果有一个整数C,它便得a＝b C,则a叫做b的倍数， b叫做a的因数。

8、 完全数定义：“完全数（Perfect number），又称完美数或完备数，是一些特殊的自然数。它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和（即因子函数），恰好等于它本身。如果一个数恰好等于它的真因子之和，则称该数为“完全数”。 例如：第一个完全数是6，它有约数1、2、3、6，除去它本身6外，其余3个数相加，1+2+3=6。第二个完全数是28，它有约数1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其余5个数相加，1+2+4+7+14=28。第三个完全数是496，有约数1、2、4、8、16、31、62、124、248、496，除去其本身496外，其余9个数相加，1+2+4+8+16+31+62+124+248=496。后面的完全数还有8128、33550336等等。