小升初数学七大模块思维导图

小升初数学:一张思维导图掌握方阵问题六大知识点两大方法

我们在日常生活中经常会遇到编排正方形体操队列,在正方形台上操场上鲜

花、插彩旗,在正方形棋盘上摆棋子等问题。学生排队,士兵列队,横着排叫做

行,竖着排叫做列。如果行数与列数都相等,则正好排成一个正方形。在数学中

我们称这类问题为方阵问题。中间是实心的方阵叫作实心方阵,中间空心的方阵

叫作空心方阵,求空心方阵的总点数,也可以看作由 4 个相同的长方形点阵组合

而成。方阵问题的核心是求最外层每边人数。

 一、基本知识点

1、含义

将若干人或物体按一定条件排成正方形,称为方阵。根据已知条件求总人数

或总物数,这类问题就叫做方阵问题。

2、特点

方阵中,行数和列数相等;里一层总比外一层的一边少 2 个物体;里一层

物体的个数一定比上一层物体总个数少 8 个。

3、类型

(1)实心方阵

(2)空心方阵

4、数量关系

(1)实心心方阵(核心公式):

每层数=(每边数-1)×4 或者每层数=每边数×4-4;

每边数=每层数÷4+1;

实心方阵:物体总数=最外层的一边个数的平方=外层每边数×每边数。

(2)空心方阵(核心公式):

外层每边数=总数÷4÷层数+层数;

每层数=(每边数-1)×4;

内层数=外层数-8

物体总数=(最外层一边个数-层数)×层数×4=(最外层层数+最内层层数)

×层数÷2

(3)去掉一行、一列的总数=去掉的每边数×2-1;

(4)实心方阵的总数是一完全平方数,空心方阵的总数是 4 的倍数。

5、解题思路

方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边的数自乘;空心方阵

的变化较多,其解答方法应根据具体情况确定。

6、解题方法

(1)图示法

(2)公式法


 二、一张思维导图归纳总结

小升初数学:一张思维导图掌握方阵问题六大知识点两大方法

 三、经典应用

例 1、在育才小学的运动会上,进行体操表演的同学排成方阵,每行 22 人,

参加体操表演的同学一共有多少人?

【分析】体操表演排成的方阵是实心方阵,根据公式物体总数=每边数×每

边数,可以求出一共有多少人参加表演。由题可知,每边数是 22 人。

【解答】22×22=484(人)

答:参加体操表演的同学一共有 484 人。


例 2、中学生运动会,准备在正方形的操场插上彩旗。如果四个角上都要插

上一面彩旗,要使每边有 7 面彩旗,那么一共要准备多少面彩旗?

(1)图示法

【分析】根据题意画出如下示意图:

小升初数学:一张思维导图掌握方阵问题六大知识点两大方法

【解答】解法 1 从上图可以看出角上的四面旗各属于两行,所以,彩旗的

总数应该为 7×4-4=24(面)。

解法 2 把场地周围的彩旗分成相等的四部分,可以看出彩旗总数为(7-1)

×4=24(面)。

解法 3 先除去四角上的四面旗,再把旗分成四部分,把总数算出来,再加

上四角上的面,可得出彩旗的总数为(7-2)×4+4=24(面)。

解法 4 先算出两边的彩旗数,再算出另外两边的彩旗数,彩旗的总数为

7×2+(7-2)×2=24(面)

(2)公式法

【分析】这些彩旗组成了一个一层空心方阵,根据公式空心方阵物体的总数

=(最外层一边个数-层数)×层数×4 可求出彩旗总数。

【解答】(7-1)×1×4=24(面)

答:一共要准备 24 面彩旗。


例 3、参加中学生运动会团体操表演的运动员排成了一个正方形队列。如果

要使这个正方形队列减少一行和一列,则要减少 33 人。问参加团体操表演的运

动员有多少人?

(1)图示法

【分析】如下图表示的是一个五行五列的正方形队列,从图中可以看出正方

形每行、每列人数相等;不管是减去哪一行、哪一列,只要是同时横竖各减少一

排,那么必然有 1 人而且只有 1 人是同时属于被减去的一行和一列,也就是去掉

横竖各一排时,去掉的总人数是原每行人数×2-1 或者是减少后每行人数×2+1。

小升初数学:一张思维导图掌握方阵问题六大知识点两大方法

【解答】解法 1 先利用去掉横竖各一排时,去掉的总人数=原每行人数

×2-1,原每行人数=(去掉的总人数+1)÷2,求出团体操队列每行有多少人,

再求参加团体操运动员的人数。

原每行人数:(33+1)÷2=17(人)

总人数:17×17=289(人)

解法 2 利用去掉横竖各一排时,去掉的总人数=减少后的每行人数×2+1,

减少后每行人数=(去掉总人数-1)÷2,求出减少人数后的团体操队列的每行人

数,再求参加团体操的运动员人数。

减少后每行人数:(33-1)÷2=16(人)

总人数:16×16+33=289(人)

(2)公式法

【分析】实心方阵去掉一行、一列,则去掉一行、一列的总人数=去掉的每

边人数×2-1,所以利用此公式可求出去掉的每边人数,去掉的每边数就是原外

层每边数,而实心方阵物体总数=最外层的一边个数的平方=外层每边数×每边数,

可求出参加团体操的运动员人数。

【解答】(33+1)÷2=17(人)

17×17=289(人)

答:参加团体操表演的有 289 人。


例 4、"六一"节用鲜花在演出台周围排成一个四层空心方阵,最外面一层

每边有鲜花 12 盆,摆这个方阵共用了多少盆鲜花?

(1)图示法

【分析】如下图是四层空心方阵图,通过观察可以看出,内层每边的个数都比

相邻外层的每边个数少 2。每相邻两层之间,每层的总数相差 8 个,因此,知道

方阵中某一层的鲜花总数,就可以求出各层鲜花的总数。

小升初数学:一张思维导图掌握方阵问题六大知识点两大方法

【解答】解法 1 最外层的鲜花总数:12×4-4=44(盆)

共有鲜花:44+(44-8)+(44-8×2)+(44-8×3)

=44+36+28+20

=128(盆)

解法 2 先看成要排成每排 12 盆,一共 12 排的实心方阵,求出鲜花总数,

再减去中间部分实际不存在的鲜花数。中间部分实际不存在的鲜花数可看成从第

五层开始,最外边数为(12-2×4)的实心方阵。

12×12-(12-2×4)×(12-2×4)

=144-16

=128(盆)

(2)公式法

【分析】这些鲜花围成了最外面一层为 12 盆的四层空心方阵。根据空心方

阵公式物体的总数=(最外层一边个数-层数)×层数×4,可求出摆这个方阵共

用了多少盆鲜花。

【解答】(12-4)×4×4

=8×4×4

=32×4

=128(盆)

答:摆这个方阵共用了 128 盆鲜花。

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