我们在日常生活中经常会遇到编排正方形体操队列，在正方形台上操场上鲜
花、插彩旗，在正方形棋盘上摆棋子等问题。学生排队，士兵列队，横着排叫做
行，竖着排叫做列。如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形。在数学中
我们称这类问题为方阵问题。中间是实心的方阵叫作实心方阵，中间空心的方阵
叫作空心方阵，求空心方阵的总点数，也可以看作由 4 个相同的长方形点阵组合
而成。方阵问题的核心是求最外层每边人数。
一、基本知识点
1、含义
将若干人或物体按一定条件排成正方形，称为方阵。根据已知条件求总人数
或总物数，这类问题就叫做方阵问题。
2、特点
方阵中，行数和列数相等；里一层总比外一层的一边少 2 个物体；里一层
物体的个数一定比上一层物体总个数少 8 个。
3、类型
（1）实心方阵
（2）空心方阵
4、数量关系
（1）实心心方阵（核心公式）：
每层数=（每边数-1）×4 或者每层数=每边数×4－4；
每边数=每层数÷4+1；
实心方阵：物体总数=最外层的一边个数的平方=外层每边数×每边数。
（2）空心方阵（核心公式）：
外层每边数=总数÷4÷层数+层数；
每层数=（每边数-1）×4；
内层数=外层数-8
物体总数=（最外层一边个数-层数）×层数×4=（最外层层数+最内层层数）
×层数÷2
（3）去掉一行、一列的总数=去掉的每边数×2-1；
（4）实心方阵的总数是一完全平方数，空心方阵的总数是 4 的倍数。
5、解题思路
方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵
的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。
6、解题方法
（1）图示法
（2）公式法
二、一张思维导图归纳总结
三、经典应用
例 1、在育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成方阵，每行 22 人，
参加体操表演的同学一共有多少人？
【分析】体操表演排成的方阵是实心方阵，根据公式物体总数=每边数×每
边数，可以求出一共有多少人参加表演。由题可知，每边数是 22 人。
【解答】22×22=484（人）
答：参加体操表演的同学一共有 484 人。
例 2、中学生运动会，准备在正方形的操场插上彩旗。如果四个角上都要插
上一面彩旗，要使每边有 7 面彩旗，那么一共要准备多少面彩旗？
（1）图示法
【分析】根据题意画出如下示意图：
【解答】解法 1 从上图可以看出角上的四面旗各属于两行，所以，彩旗的
总数应该为 7×4-4=24（面）。
解法 2 把场地周围的彩旗分成相等的四部分，可以看出彩旗总数为（7-1）
×4=24（面）。
解法 3 先除去四角上的四面旗，再把旗分成四部分，把总数算出来，再加
上四角上的面，可得出彩旗的总数为（7-2）×4+4=24（面）。
解法 4 先算出两边的彩旗数，再算出另外两边的彩旗数，彩旗的总数为
7×2+（7-2）×2=24（面）
（2）公式法
【分析】这些彩旗组成了一个一层空心方阵，根据公式空心方阵物体的总数
=（最外层一边个数-层数）×层数×4 可求出彩旗总数。
【解答】（7-1）×1×4=24（面）
答：一共要准备 24 面彩旗。
例 3、参加中学生运动会团体操表演的运动员排成了一个正方形队列。如果
要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少 33 人。问参加团体操表演的运
动员有多少人？
（1）图示法
【分析】如下图表示的是一个五行五列的正方形队列，从图中可以看出正方
形每行、每列人数相等；不管是减去哪一行、哪一列，只要是同时横竖各减少一
排，那么必然有 1 人而且只有 1 人是同时属于被减去的一行和一列，也就是去掉
横竖各一排时，去掉的总人数是原每行人数×2-1 或者是减少后每行人数×2+1。
【解答】解法 1 先利用去掉横竖各一排时，去掉的总人数=原每行人数
×2-1，原每行人数=（去掉的总人数+1）÷2，求出团体操队列每行有多少人，
再求参加团体操运动员的人数。
原每行人数：（33+1）÷2=17（人）
总人数：17×17=289（人）
解法 2 利用去掉横竖各一排时，去掉的总人数=减少后的每行人数×2+1，
减少后每行人数=（去掉总人数-1）÷2，求出减少人数后的团体操队列的每行人
数，再求参加团体操的运动员人数。
减少后每行人数：（33-1）÷2=16（人）
总人数：16×16+33=289（人）
（2）公式法
【分析】实心方阵去掉一行、一列，则去掉一行、一列的总人数=去掉的每
边人数×2-1，所以利用此公式可求出去掉的每边人数，去掉的每边数就是原外
层每边数，而实心方阵物体总数=最外层的一边个数的平方=外层每边数×每边数，
可求出参加团体操的运动员人数。
【解答】（33+1）÷2=17（人）
17×17=289（人）
答：参加团体操表演的有 289 人。
例 4、"六一"节用鲜花在演出台周围排成一个四层空心方阵，最外面一层
每边有鲜花 12 盆，摆这个方阵共用了多少盆鲜花？
（1）图示法
【分析】如下图是四层空心方阵图，通过观察可以看出，内层每边的个数都比
相邻外层的每边个数少 2。每相邻两层之间，每层的总数相差 8 个，因此，知道
方阵中某一层的鲜花总数，就可以求出各层鲜花的总数。
【解答】解法 1 最外层的鲜花总数：12×4-4=44（盆）
共有鲜花：44+（44-8）+（44-8×2）+（44-8×3）
=44+36+28+20
=128（盆）
解法 2 先看成要排成每排 12 盆，一共 12 排的实心方阵，求出鲜花总数，
再减去中间部分实际不存在的鲜花数。中间部分实际不存在的鲜花数可看成从第
五层开始，最外边数为（12-2×4）的实心方阵。
12×12-（12-2×4）×（12-2×4）
=144-16
=128（盆）
（2）公式法
【分析】这些鲜花围成了最外面一层为 12 盆的四层空心方阵。根据空心方
阵公式物体的总数=（最外层一边个数-层数）×层数×4，可求出摆这个方阵共
用了多少盆鲜花。
【解答】（12-4）×4×4
=8×4×4
=32×4
=128（盆）
答：摆这个方阵共用了 128 盆鲜花。
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