墨西哥裔、以色列裔美国理论物理学家贝肯斯坦是第一个提出黑洞存在的人——一个时空区域，引力非常强，连光都无法逃脱。他指出，黑洞应该有一个定义明确的熵。根据贝肯斯坦，我们可以这样定义黑洞熵：
黑洞熵是必须分配给黑洞的熵量，以使其符合热力学定律，因为它们被黑洞外部的观察者解释。（Black hole entropy is the amount of entropy that must be assigned to a black hole in order for it to comply with the laws of thermodynamics as they are interpreted by observers external to that black hole.）
- 图1：贝肯斯坦-霍金熵。它的值与A/4成正比，其中A是视界的面积。
为什么黑洞有熵？
在贝肯斯坦的一篇文章中，他提供了三种可能的方法来证明黑洞熵的存在：
（1）坍塌形成黑洞的物质和辐射对外部观察者是隐藏的。因此，这样的观察者无法提供黑洞坍塌的热力学描述，因为它们（黑洞）是不可观测的。一种解释热力学的方法是把熵和黑洞联系起来。
- 图2：引力坍缩导致黑洞的形成（维基百科）。
（2）参数化一个静止黑洞只需要三个量——质量M，电荷Q和角动量J。因为在这三个参数中有几种可能的黑洞形成机制，必然有几种可能的内部状态与之相关。我们知道热力学熵量化了许多微观状态（与给定的宏观状态兼容），它们以温度T、压力P和体积V等为特征。在黑洞的例子中，宏观状态的特征是元组(M, Q, J)。引用贝肯斯坦的话，“热力学熵量化[…]多重性。”因此，我们需要把熵和黑洞联系起来。
- 图3：微观状态是热力学系统可以占据的一种特殊的微观构型。宏观状态是指它的宏观性质，有一些参数如温度，压力和体积。（图片：维基百科）
（3）黑洞隐藏着信息。黑洞提供的所有信息都是(M, Q, J)，它屏蔽了所有进入它的信息。因为我们从基本统计力学中知道熵是用来测量缺失信息的，这表明黑洞也有熵。
- 图4：所有三种不同形状的“恒星”坍缩而没有保留其属性。崩塌后，第一个黑洞没有磁场，第二个黑洞不是方形的，第三个黑洞的表面没有凸起。
黑洞的熵公式
我们有理由假设黑洞的熵只依赖于三个可观测量M、Q和J中的一个或多个。根据面积定理，黑洞的事件视界的面积不会减少。这让我们想起了封闭系统的热力学熵的行为。因此，假设黑洞的熵是视界面积的单调递增函数是有意义的。
现在，我们可以证明（稍后将讨论），一个遵循热力学第一定律的黑洞，其熵与视界的面积成正比。更具体地说，如果视界的面积是A，黑洞熵是：
- 式1：黑洞的熵与其视界面积A成正比（在这个表达式中，所有物理常数均设为1）。
我们使用自然单位（物理常数设为1）。
- 图5：黑洞S的熵与其视界的面积A成正比。
黑洞的类型
黑洞主要有四种类型：
- 史瓦西黑洞：质量M，电荷Q=0角动量J=0。
- 克尔黑洞和克尔-纽曼黑洞：质量M，电荷Q（克尔黑洞Q=0，但克尔-纽曼黑洞是带电的），角动量J。
- 赖斯纳-诺德斯特伦黑洞（Reissner–Nordström black holes ）：质量M，电荷Q，角动量J=0。
下面我将简要介绍史瓦西黑洞和克尔-纽曼黑洞。前者是最简单的黑洞类型，后者是最普遍的。
史瓦西黑洞
史瓦西黑洞是静止的球对称黑洞，只有一个参数，即质量M。球坐标下的史瓦西线元为：
- 式2：球坐标下的史瓦西线元。
从球面坐标系转换到一个新的叫做爱丁顿-芬克尔斯坦坐标系，人们发现r = 2M并不是一个真实的时空奇点。史瓦西黑洞的唯一奇点是在中心r=0处。视界的半径为r = 2M，视界的表面积和相应的熵为：
- 式3：史瓦西黑洞的视界面积和相应的熵。
- 图6：史瓦西黑洞。右边的图显示了一个吸积盘，它是由围绕中心大质量物体的弥散物质形成的。光子层是一个空间区域，在那里引力迫使光子在轨道上运动。
克尔-纽曼黑洞
克尔-纽曼黑洞是最普遍的固定黑洞。注意，固定和静止是不同的概念。克尔-纽曼黑洞是旋转的（因此它不是静态的），但是它总是以同样的方式旋转，因此它是固定的。克尔-纽曼黑洞有三个参数，即黑洞的质量M，电荷Q，和角动量J。它是Q=0的克尔黑洞的推广。与史瓦西黑洞相反，克尔-纽曼黑洞的视界不是球形的。
在波义耳-林德奎斯特坐标（Boyer-Lindquist）坐标(t,r，θ，ϕ)中，线元素为：
- 式4：用波义耳-林德奎斯特坐标表示的克尔-纽曼线元。
这里：
- 式5：克尔-纽曼黑洞度规的参数。
其中θ是球坐标中的极坐标角。我们还需要知道电磁场张量，以便得到爱因斯坦场方程的解。在波义耳-林德奎斯特形式中，电磁场张量为：
- 式6：克尔-纽曼黑洞的麦克斯韦张量
每质量带电荷q的粒子围绕克尔-纽曼黑洞的运动方程如下：
- 式7
下面的动画演示了测试粒子的运动。
- 图7：围绕克尔-纽曼黑洞运行的测试粒子
克尔-纽曼黑洞的视界面积为：
- 式8：克尔-纽曼黑洞的视界面积。
我们在这里注意到，尽管克尔-纽曼黑洞的视界不再是球形的，但在波义耳-林德奎斯特坐标下，它仍然位于一个固定的径向坐标上，允许用一种简单的方法计算式8。
克尔-纽曼黑洞的重要表面
如图8所示，克尔-纽曼度规具有以下重要曲面：
内部和外部事件视界：
- 式9
内部和外部的能层：
- 式10：内部和外部的能层。
其中θ是球坐标中的极坐标角。
- 图8：这个图显示了一个克尔黑洞（克尔-纽曼黑洞的不带电版本）周围的视界。事件视界（内部和外部）定义了不可能回到特定空间区域的零表面。静止极限面（图的右上角）是时间型的（极点处除外）。超过它，观察者就不能保持静止。能层是一个可以进出（但不能保持静止）的区域。
黑洞热力学定律
我将首先考虑黑洞热力学的第一、第二和第三定律，然后再研究第零定律。
热力学第一定律
当一个热力学系统在温度T接近其平衡状态并改变其状态时，相应的能量E和熵S的增量之间存在如下关系：
- 式11：热力学第一定律。这里dW是对系统做的功。
如果系统以角频率Ω旋转，并且它的电荷达到电势Φ，它的角动量和电荷就会发生变化。第一个定律（式9）将变成：
- 式12：热力学第一定律，当系统以角频率Ω旋转时，它的电势为Φ。
黑洞满足一种类似于式12的关系。为了解释它，我将只考虑克尔-纽曼黑洞类型，因为正如前面提到的，它是最一般的固定黑洞类型。
现在考虑克尔-纽曼黑洞视界面积的式8，计算dA并将它乘以下面的参数Θ。我们得到dM，dJ，dQ之间的关系如下：
- 式13：黑洞力学和几何性质增量之间的关系。
这里
- 式14：式13中dM、dJ、dQ的系数的值。
上面的数量：
- 式15：黑洞的角旋转频率和电势。
分别为：
- 黑洞的角旋转频率（任何掉进黑洞的实验物体，最终都以这个频率绕过黑洞）。
- 黑洞的电势（黑洞电场从无穷到视界的线积分）。
因为方程式13右边的第一项是黑洞的能量，方程式13与普通热力学第一定律非常相似。对于式13来说，要想成为黑洞热力学的第一定律，熵必须是事件视界面积的单变量函数，这意味着：
- 式16：方程式13是黑洞热力学第一定律的条件。
现在，如果我们把黑洞的熵设为式1，我们可以得到黑洞温度的如下表达式：
- 式17：由式1给出的熵S决定的黑洞温度。
对于Q=J=0，这就变成：
- 式18：霍金辐射的温度。
但在1974年，有研究表明黑洞会自发地释放出精确的热辐射，即所谓的霍金温度。
- 图9：英国理论物理学家史蒂芬·霍金，他在1974年发表了一篇论文，他计算了黑洞发出的霍金辐射的温度。
虽然在霍金的原始论文中得到了式18，但是后来证明了电荷Q和角动量J存在时的温度与式17相等。
黑洞热力学的广义第二定律
根据标准热力学，第二定律要求封闭系统的熵绝不能减小：
- 式19：热力学第二定律
由于落入黑洞的常规系统变得不可观测，因此它们的熵也是不可观测的。如果将热力学第二定律概括如下，就可以得到一个更有用的定律：
- 式20：广义热力学第二定律。
因此，根据广义第二定律（GSL），黑洞外的标准熵S₀的变化量和黑洞的总熵的变化量之和绝不可能是负的。当物质的熵进入黑洞时，广义第二定律要求黑洞熵的增加必须大于视界熵的减少。
当黑洞发出辐射时，黑洞的面积会减小，这违背了我们之前讨论过的面积定理。这种违反的发生是因为定理假定的能量条件由于量子涨落的存在而失效，而量子涨落本身产生辐射。广义第二定律预言出射辐射的熵将超过黑洞熵降的补偿。
黑洞热力学第三定律
热力学第三标准定律有两种表述方式：
- 不可实现性表述：:对于一个系统，要达到T=0，需要无限多的步骤。
- 能斯特-西蒙表述：在T=0时，系统的熵要么趋于零，要么独立于强热力学性质，如压力，磁场或电势。
根据我们之前的克尔-纽曼黑洞方程，我们发现，如果式17给出的黑洞温度消失，两件事会发生：
- 在零温度下，黑洞的熵不是零，而是取决于J/M的比值，这与黑洞的角速度有关。
- 有一些迹象表明，黑洞满足不可实现性的表述。索恩（1973）发现，在天体物理场景中，在满足极值消失条件之前，在J/M≈0.998M时，非带电黑洞的自旋过程被延迟。
热力学第零定律
根据热力学第零定律，如果两个系统与第三个系统处于热平衡，那么它们之间也处于热平衡。处于热平衡的系统温度恒定。
可以证明，在一个静止黑洞的视界上，表面引力的κ（它等于接近视界的重力加速度乘以红移因子）是恒定的，因此将其与正常系统的温度T联系起来是合理的。
黑洞熵的起源是什么？
这个问题还没有明确的答案。然而，由于普通熵是对应于单一宏观状态的微观状态的多样性的度量，如玻尔兹曼公式：
- 式21：玻尔兹曼熵，其中W是对应于单个宏观状态的等可能微观状态数。
人们不禁要问，黑洞微观状态的含义是什么。以下是对黑洞熵的一些可能的解释：
- 黑洞熵计算了物质和能量的内部状态。
- 对于坍缩形成的黑洞，视界外部和内部的量子场自由度之间存在纠缠。对于外部观察者来说，视界内部的自由度是无法达到的。因此，在一个有意义的状态下，内部自由度被绘制出来。
- 黑洞熵计算视界引力状态。因此，我们正在寻找的微观状态是驻留在黑洞视界上的引力自由度的状态。
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