“给我空间、时间及对数，我就可以创造一个宇宙.”（伽利略）
1946年，ENIAC的问世宣告电子计算机时代的来临.ENIAC是为了满足美国奥伯丁武器试验场弹道计算而研发的. 该计算机惊人的运算能力使得数学家们“受宠若惊”，要知道在这之前的几百年间，进行复杂的计算不得不依赖基于 “对数表”（或对数尺）的手工计算.
这是一次革命性的尝试，就像16世纪对数的发明一样，它们都改变了人们对于计算的认识，并使运算变得比之前更容易.举一个简单的例子， ,我们如何计算这样一个复杂算式的结果呢？
16世纪以前人们只能依靠纯粹的、大量的复杂乘除、开方运算，这样会耗费他们很多的时间.有没有方法可以简化“乘除/开方”运算呢？三角学在古阿拉伯时期已经发展成熟，数学家们经过探索自然能发现：“积化和差”公式可以将“乘除关系”转化为“加减关系”.这是一个很好的想法，因为加法运算比乘法运算要好算得多.
但这样一个公式并没有被普及开来，虽然当时对于三角函数的运用已比较娴熟，但是无论对于寻找原函数、还是涉及到多个乘除运算时，这样的公式都很复杂.
5.9.1 “对应”关系的发现
不同的人对于不同的事物有不同的理解，“积化和差”公式到了16世纪著名数学家纳皮尔这里却成了宝贝.他不照搬公式但洞穿了这个公式的本质——“乘法”变“加法”，并将其运用到自然级数与几何级数的对应关系上.
先来看一个朴素的想法：如果要计算8×32.如表一，我们只需要找到8所“对应”的指数3及32所“对应”的指数5，并将其相加得到3+5=8.再返回去找出8所“对应”的幂256.就可得到8×32=256.
再来一个难度大一些的，我们要计算59049×1594323.如表二，注意到59049“对”的指数为10，1594323“对”的指数为11，两者相加10+11=21，再找到21“对”的幂为10460353203.因此59049×1594323=10460353203.
这样的对应方法在纳皮尔之前就有数学家简单的思考过，如16世纪的著名数学家施蒂费尔(Michael Stifel,1487-1567），思考了算术数列0,1,2,3,4….与几何数列1,2,4,8,16，…之间的一一对应关系，几何数列中两项相乘得出的项，其指数等于算术数列中相应两项之和.对数的基本思想在这里得到初步体现.
Arithmetica integra（1544）书影
但是施蒂费尔仅仅止步于此，并没有进一步思考如何用一个普适的方法将复杂的“乘法”转换为简单的“加法”，也没有思考过用以上“对应”的方法来简化运算.与施蒂费尔同时代的另一位数学家纳皮尔被球面三角的复杂运算头疼得不行，于是废寝忘食，通过20年的潜心研究，终于发明了一种影响人类计算科学的重要工具，从此，计算变得如此轻松.
5.9.2 乘法变成了加法
纳皮尔（John Napier.1550-1617）是16世纪英国著名的数学家，出身贵族的他并没有一个正式的职业，但是痴迷于球面三角.球面三角中复杂的天文数字，以及天文数字间的连乘让纳皮尔（当然也包括其他的天文学家）痛疼不已，有没有一个可以简化运算的方法？20年不间断的思考终于让纳皮尔豁然开朗，他从正弦的对数出发，发明了影响数学400年的数学工具——纳皮尔对数.
Mirifici_logarithmorum_canonis_descripti（1614）书影
同以上“幂”的运算一样，纳皮尔对数计算的关键在于制作类似上面的这样一张“表”.将一个数与它的幂相“对应”.只是纳皮尔选择的底数不是2，也不是3，而是选择了一个我们觉得不可思议的数.
Mirifici_logarithmorum_canonis_descripti（1614）书影
应该以那个数作为底呢？为了使得幂增长较快，并尽量避免小数的出现，纳皮尔选择了1-10-7，即0.999 999 9.并从107开始，依次计算得到：
107，107(1-10-7)1,107(1-10-7)2,107(1-10-7)3…,
即，107， 9999998, 9999997， 9999996…，并作为第一张表.
Mirifici_Logarithmorum_Canonis_Construct（1619）书影
紧接着，以1-10-5等为底又继续作了另外3个表.这样的4张表合在一起，形成了数学史上第一份“对数表”.就是这样一份简单的“对数表”，纳皮尔却用了整整20年时间.很不可思议吧，身在21世纪的我们简直无法想象：仅用最简单的工具——纸和笔，是如何完成这样一份高强度、精度又高要求的工作的.这让我想起了我国著名数学家祖冲之将圆周率π计算到小数点后7位，网上很多人说这有什么了不起的，国人就喜欢拿领先世界几百年说事，但真的是这样的吗?
“哥伦布的鸡蛋”告诉我们，不要用我们现在的思维理解过去的事情，因为我们之所以觉得很简单，是因为发现者已经告诉了我们是这样的，但如果现在它仍然悬而未决，我们就知道自己的无知. 对纳皮尔我们应该以十分严肃的态度表示尊敬，他对计算进行了彻底的改革，这一改革以迅雷不及掩耳之势传遍欧亚.
5.9.2 几何模型——16世纪不可回避的几何基础
对数的发明是振奋人心的，但是基于时代的要求，纳皮尔还得为对数寻求一个合理的几何基础，因此，纳皮尔考虑了物体运动及严谨的几何论证.
Mirifici_logarithmorum_canonis_descripti（1614）书影
如上图，假设一个动点β从α开始向ω作直线运动，其速度与β到ω的距离成正比，即，速度，为常数，如果假设经过同一个时间间隔 ，动点β会分别到达点等处（左图），由于速度在不断减小，其在同一时间间隔内的运动距离也会不断减小.从中任意截取时间 内运动的一段距离（右图），则，||=||-||，而点处的速度=，因此，||=||-. 因此， ， ，…呈几何数列.
同时，让另一点б从A开始做匀速直线运动，经过相同的时间间隔，分别到达点C,D,E,F,…处，此时有，即呈算术数列.
纳皮尔将分别取作,,的对数,并令 ，，因此有，，…纳皮尔完美的给了对于以几何解释和证明，为对数表的绘制奠定了坚实基础. 纳皮尔的“对数表”很精细，但是这样一个对数系统不利于性质的研究.比如我们熟知的对数运算定理（乘积的对数等于各自对数的和）就不成立.
5.9.3 底数的优化
尽管尚有不足，但是纳皮尔的“对数表”一经发表就受到狂热的追捧，很多天文学家（如开普勒）从中受益.而当时英国的著名几何学教授布里格斯(Henry Briggs,1561-1631)闻讯后更是亲自拜访了纳皮尔.建议使用10代替1-10-7作为底数，并将1的对数值定义为0（注意到，纳皮尔对数系统中，107的对数值为0）.这就相当于一个数的对数就等于，亦即N=10m（或，m=lgN）.
这样的改变使得对数更简洁适用，让纳皮尔没有办法拒绝.紧接着布里格斯便开始编制这样的新对数表，并于1624年发表在他的《对数的算术》一书中，此表300多年来只被改动了一点点，并一直延用到21世纪.
5.9.4 对数传入大清帝国
18世纪初“对数”传入我国，并被编入康熙年间的著名数学合集《数理精蕴》中.《数理精蕴》全书上编五卷，下编四十卷，表四种八卷，是一部融中西数学于一体的重要数学作品集.关于对数的研究在下篇的第三十八卷.
对数(logarithm)原意为“比数”，即等比数列各项中公比的次数.清代传入我国后，根据《数理精蕴》下篇卷三十八记载：“对数比例，乃西士纳皮尔所作.以假数与真数对列成表，故名对数表….”，此为“对数”一词的来源
《数理精蕴》下篇卷三十八关于对数的记载
5.9.5 对数求值
有了对数表，现在让我们一起来解决前文提出的问题：求解
首先，两边取对数，得到
查表得到：.计算得到. 再次查表得.
对数的用途在这样的一个计算中扮演了重要的角色，但是这已经是被改良后计算方式.对数诞生于16世纪，经过17世纪的发展，但要直到18世纪（1727年）才成为了现在的样子. 没错，这依旧归功于我们常提起的著名数学家欧拉.
对数和指数是独立的个体吗？它们之间有没有更密切的关系？大神欧拉告诉我们，对数与指数具有互逆关系.用符号表示为：如果,则.对数的发现先于指数，但同时“对数又源于指数”.两者为不可分割的整体.
1617年之前纳皮尔发现了“对数”，1637年法国数学家笛卡儿提出了“指数”的概念，1770年欧拉将这两者完美统一，到现在“对数”已从计算的工具逐渐延伸到数学多个领域（如酸碱度PH值、人口模型等），成为了研究数学的必不可少.
对数因计算而生，随着计算机的普及，对数之于计算的核心位置已渐渐被计算机所替代.但正如Maor在《e的故事——一个常数的传奇》中所说：
就算对数失去了在计算中的核心地位，对数函数仍然是几乎所有数学分支的核心，无论是纯数学还是应用数学，它出现在从物理学、化学到生物学、心理学、艺术和音乐的各种实际应用中.
参考文献：
- Eli Maor. e的故事——一个常数的传奇.人民邮电出版社.2010.7
- 汪晓勤.HPM:数学史与数学教育.科学出版社.2017.5
- John Napier.Mirifici_logarithmorum_canonis_descripti（M）.1614
- John Napier.Mirifici_Logarithmorum_Canonis_Construct（M）.1619
- Michael Stifel.Arithmetica integra(M).1544
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