在拓扑学当中有许多神奇的图形，其中最特别的，应该就是莫比乌斯环和克莱因瓶了。都是正反难分的代表，但偏偏前者我们可以很轻松地造出来，后者却如何努力都无法创造。
莫比乌斯环（左）和克莱因瓶（右）
这究竟是为什么呢？
莫比乌斯环和克莱因瓶
首先我们先来看看大家比较熟悉的莫比乌斯环，如今现在市面上其实有不少它的衍生产物，比如说“莫比乌斯环戒指”。
莫比乌斯环，别称也叫莫比乌斯带，是由约翰·李斯丁和莫比乌斯在1858年发现的。
莫比乌斯带的发现者
当时他们利用普通的纸条进行实验，发现将纸条扭转180°之后，再将其两个接头处粘合在一起，就能够获得一个奇怪的“纸环”。
为什么说这个纸环奇怪呢，是因为它只有一个单侧曲面，在这种情况下，如果将一只蚂蚁放在纸环上，并且让其在上面爬行，这只蚂蚁就可以不跨过任何的边缘，涉足纸环的所有地方。
值得一提的是，在后续的研究当中，人们还发现，并不是只能将纸条旋转180°，如果你乐意，转540°甚至900°，得到的产物依旧是“莫比乌斯环”。
莫比乌斯环的制作非常简单
因此对于莫比乌斯环，人们一直很感兴趣，认为它不止与数学有关，与物理学之类的也有密切的关系。在他们看来，这种处在三维欧几里得空间中的怪圈，实际上是一种二维单面环状结构，而我们或许可以依靠它来预测三维空间的某些结构。
简单来说，如果哪天我们也走在一个像莫比乌斯环一样的公路上，那么可能永远都走不到尽头。因为它本身就是一个循环，在其中的我们会和蚂蚁一样，迷失方向，无法辨别起点和终点。
人在其中根本无法走出
其次再来看看克莱因瓶，相较于在不少地方都能见到的莫比乌斯环，克莱因瓶似乎有些冷门。不过，在拓扑学当中，它的地位还是很高的，甚至有某些人认为，克莱因瓶才是代表着“未来”的东西。
克莱因瓶也叫克莱因壶，是德国几何学家菲利克斯·克莱因发现的。它的发现时间要比莫比乌斯环晚一些，大概是1882年。单从这个瓶子的外形来看，根本没什么稀奇，就只是形状比较诡异而已。
被实质化的“克莱因瓶”
这是因为我们现在看到的克莱因瓶，根本算不上是它的真身，真正的克莱因瓶是不分“内外”的。并且，我们现在看到的那个插入瓶身当中的瓶颈，其实在拓扑图形中并没有这样“相交”。
准确来说，这个瓶颈是通过第四个维度，来与瓶底实现相连的。这就意味着，进入其中的生物不需要飞越，便可以直接在内外表面反复横跳。
克莱因瓶的半面走向原理
对此大家可能感到无法理解，那我们就用常见的球状物体进行举例。如果我们把一只蚂蚁放在圆球的内部，就会发现它只能在内表面中爬行。想爬出来，除非利用口器将这个球咬出一个小洞，然后钻出来。
可是克莱因瓶当中的蚂蚁就没有这种烦恼，在其表面不会终结的情况下，只要位于其中就能够随意涉足外表面和内表面。从某种角度上来说，这似乎也像莫比乌斯环上的虫子一样陷入了“无限循环”。
其实从两位数学家对它们的发现历程，以及论证时所用的说法，就能看出前者是可以直接用实物扭出一个模型，后者虽能够造出来但是本质上却不是理论里的那个东西。
克莱因瓶从理论上来说是造不出来的
那么，到底是什么原因导致了这种情况呢？
为什么克莱因瓶没办法被造出来？
从表面上来看，二者都是人们利用神奇的几何创造出来的东西。但是从实质上来说，二者涉及的维度确实有巨大差别的，
如果说莫比乌斯环体现的是从二维向三维的跨越，那么克莱因瓶体现的就是从三维向四维的跨越。
很显然，我们现在看到的世界是三维的，所以想创造莫比乌斯环是易如反掌的事情，但是克莱因瓶就不行了，因为这家伙涉及四维的东西。
维度的划分限制了某些理论的实现
毕竟从目前的维度探索来看，人类对四维只有“抽象”的理解。因此，我们在三维世界中造出的克莱因瓶怎么可能看着不奇怪呢？
值得一提的是，就算真的有四维空间的生物将一个克莱因瓶带到人类世界，并且向我们展示，我们可能也无法理解其中的“内涵”。
毕竟，在巨大的维度差距下，我们眼睛看到的依旧是三维世界的东西，大脑中产生的相关理解，也是以三维世界为基准的。这样的话，根本无法体会真正克莱因瓶的神奇之处。
我们制造出来的只是三维世界的“克莱因瓶”
此外，倘若我们是属于二维世界的生物，而在那里也想出了神奇的莫比乌斯环理论。面对的其实将是和现在如出一辙的情况，因为这个看似一扭就搞定的纸环，在二维世界是无法被完美创造的。
在那里，眼中只有“横平竖直”的我们，终其一生也难以理解二维纸张如何变成了三维的纸环。
二维世界的我们无法理解三维理论
说到这儿，大家应该能理解为何这两个东西一个可以被创造，一个却不伦不类。
真正的原因就在于“维度难以跨越”，二维难以跨越到三维，所以那里的“纸片人”造不出莫比乌斯环。三维无法跨越到四维，所以人们造不出克莱因瓶，甚至凭肉眼去看电脑建模，或者想象其真实的模样，都没有什么可供发挥的空间。
从这种角度来说，大抵才算是真正的“降维打击”吧！因为四维生物只需要利用维度之便，将人类所创造的三维产物进行变换，我们就能陷入内外不分的“死循环”当中。它们想将我们困死在哪里，可能也就是动动手指的事情。
高维度空间对于我们而言要更为复杂
当然，不论怎样，人类还是对跨越维度充满期待的。所以即使克莱因瓶的制造存在诸多困难，人们也依旧在尝试更进一步。它就像是我们打开“四维空间”的一块敲门砖，当我们将其真正造出来并直观理解的时候，就说明人类真的具备“跨越维度”的能力了！
值得一提的是，在研究克莱因瓶时，人们也不忘关注代表从“二维变成三维”的莫比乌斯环，甚至让它现实生活中得到了应用。
人们给莫比乌斯环戒指寓意永恒的爱
莫比乌斯环在生活中的应用
抛开那些仿照莫比乌斯环制造的装饰品不说，莫比乌斯环对人类的科技发展其实是做出了不少贡献的。比如在工业制造领域，就有不少机械设计的传送带或者风扇是仿照它来制造的。
资料显示普通传送带有两个面，只用到一面，而以莫比乌斯环做传送带，因它只有一面,使整条传送带环面各处均匀地承受磨损，避免了普通传送带单面受损的情况，使得其寿命延长了整整一倍，从而提高了利用效率。
莫比乌斯环传送带
除此之外，在许多的音乐磁带当中，也有莫比乌斯环的身影。它的这种神奇结构，能够增加磁带信息的承载量。相信在未来，莫比乌斯环会带给我们更多的惊喜。
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