为什么莫比乌斯环能造出克莱因瓶

在拓扑学当中有许多神奇的图形,其中最特别的,应该就是莫比乌斯环和克莱因瓶了。都是正反难分的代表,但偏偏前者我们可以很轻松地造出来,后者却如何努力都无法创造。

我们能造出莫比乌斯环,却无法造出克莱因瓶,真正的原因是什么?

莫比乌斯环(左)和克莱因瓶(右)

这究竟是为什么呢?

莫比乌斯环和克莱因瓶

首先我们先来看看大家比较熟悉的莫比乌斯环,如今现在市面上其实有不少它的衍生产物,比如说“莫比乌斯环戒指”。

莫比乌斯环,别称也叫莫比乌斯带,是由约翰·李斯丁和莫比乌斯在1858年发现的。

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莫比乌斯带的发现者

当时他们利用普通的纸条进行实验,发现将纸条扭转180°之后,再将其两个接头处粘合在一起,就能够获得一个奇怪的“纸环”。

为什么说这个纸环奇怪呢,是因为它只有一个单侧曲面,在这种情况下,如果将一只蚂蚁放在纸环上,并且让其在上面爬行,这只蚂蚁就可以不跨过任何的边缘,涉足纸环的所有地方。

值得一提的是,在后续的研究当中,人们还发现,并不是只能将纸条旋转180°,如果你乐意,转540°甚至900°,得到的产物依旧是“莫比乌斯环”。

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莫比乌斯环的制作非常简单

因此对于莫比乌斯环,人们一直很感兴趣,认为它不止与数学有关,与物理学之类的也有密切的关系。在他们看来,这种处在三维欧几里得空间中的怪圈,实际上是一种二维单面环状结构,而我们或许可以依靠它来预测三维空间的某些结构。

简单来说,如果哪天我们也走在一个像莫比乌斯环一样的公路上,那么可能永远都走不到尽头。因为它本身就是一个循环,在其中的我们会和蚂蚁一样,迷失方向,无法辨别起点和终点。

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人在其中根本无法走出

其次再来看看克莱因瓶,相较于在不少地方都能见到的莫比乌斯环,克莱因瓶似乎有些冷门。不过,在拓扑学当中,它的地位还是很高的,甚至有某些人认为,克莱因瓶才是代表着“未来”的东西。

克莱因瓶也叫克莱因壶,是德国几何学家菲利克斯·克莱因发现的。它的发现时间要比莫比乌斯环晚一些,大概是1882年。单从这个瓶子的外形来看,根本没什么稀奇,就只是形状比较诡异而已。

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被实质化的“克莱因瓶”

这是因为我们现在看到的克莱因瓶,根本算不上是它的真身,真正的克莱因瓶是不分“内外”的。并且,我们现在看到的那个插入瓶身当中的瓶颈,其实在拓扑图形中并没有这样“相交”。

准确来说,这个瓶颈是通过第四个维度,来与瓶底实现相连的。这就意味着,进入其中的生物不需要飞越,便可以直接在内外表面反复横跳。

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克莱因瓶的半面走向原理

对此大家可能感到无法理解,那我们就用常见的球状物体进行举例。如果我们把一只蚂蚁放在圆球的内部,就会发现它只能在内表面中爬行。想爬出来,除非利用口器将这个球咬出一个小洞,然后钻出来。

可是克莱因瓶当中的蚂蚁就没有这种烦恼,在其表面不会终结的情况下,只要位于其中就能够随意涉足外表面和内表面。从某种角度上来说,这似乎也像莫比乌斯环上的虫子一样陷入了“无限循环”。

其实从两位数学家对它们的发现历程,以及论证时所用的说法,就能看出前者是可以直接用实物扭出一个模型,后者虽能够造出来但是本质上却不是理论里的那个东西。

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克莱因瓶从理论上来说是造不出来的

那么,到底是什么原因导致了这种情况呢?

为什么克莱因瓶没办法被造出来?

从表面上来看,二者都是人们利用神奇的几何创造出来的东西。但是从实质上来说,二者涉及的维度确实有巨大差别的,

如果说莫比乌斯环体现的是从二维向三维的跨越,那么克莱因瓶体现的就是从三维向四维的跨越。

很显然,我们现在看到的世界是三维的,所以想创造莫比乌斯环是易如反掌的事情,但是克莱因瓶就不行了,因为这家伙涉及四维的东西。

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维度的划分限制了某些理论的实现

毕竟从目前的维度探索来看,人类对四维只有“抽象”的理解。因此,我们在三维世界中造出的克莱因瓶怎么可能看着不奇怪呢?

值得一提的是,就算真的有四维空间的生物将一个克莱因瓶带到人类世界,并且向我们展示,我们可能也无法理解其中的“内涵”。

毕竟,在巨大的维度差距下,我们眼睛看到的依旧是三维世界的东西,大脑中产生的相关理解,也是以三维世界为基准的。这样的话,根本无法体会真正克莱因瓶的神奇之处。

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我们制造出来的只是三维世界的“克莱因瓶”

此外,倘若我们是属于二维世界的生物,而在那里也想出了神奇的莫比乌斯环理论。面对的其实将是和现在如出一辙的情况,因为这个看似一扭就搞定的纸环,在二维世界是无法被完美创造的。

在那里,眼中只有“横平竖直”的我们,终其一生也难以理解二维纸张如何变成了三维的纸环。

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二维世界的我们无法理解三维理论

说到这儿,大家应该能理解为何这两个东西一个可以被创造,一个却不伦不类。

真正的原因就在于“维度难以跨越”,二维难以跨越到三维,所以那里的“纸片人”造不出莫比乌斯环。三维无法跨越到四维,所以人们造不出克莱因瓶,甚至凭肉眼去看电脑建模,或者想象其真实的模样,都没有什么可供发挥的空间。

从这种角度来说,大抵才算是真正的“降维打击”吧!因为四维生物只需要利用维度之便,将人类所创造的三维产物进行变换,我们就能陷入内外不分的“死循环”当中。它们想将我们困死在哪里,可能也就是动动手指的事情。

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高维度空间对于我们而言要更为复杂

当然,不论怎样,人类还是对跨越维度充满期待的。所以即使克莱因瓶的制造存在诸多困难,人们也依旧在尝试更进一步。它就像是我们打开“四维空间”的一块敲门砖,当我们将其真正造出来并直观理解的时候,就说明人类真的具备“跨越维度”的能力了!

值得一提的是,在研究克莱因瓶时,人们也不忘关注代表从“二维变成三维”的莫比乌斯环,甚至让它现实生活中得到了应用。

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人们给莫比乌斯环戒指寓意永恒的爱

莫比乌斯环在生活中的应用

抛开那些仿照莫比乌斯环制造的装饰品不说,莫比乌斯环对人类的科技发展其实是做出了不少贡献的。比如在工业制造领域,就有不少机械设计的传送带或者风扇是仿照它来制造的。

资料显示普通传送带有两个面,只用到一面,而以莫比乌斯环做传送带,因它只有一面,使整条传送带环面各处均匀地承受磨损,避免了普通传送带单面受损的情况,使得其寿命延长了整整一倍,从而提高了利用效率。

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莫比乌斯环传送带

除此之外,在许多的音乐磁带当中,也有莫比乌斯环的身影。它的这种神奇结构,能够增加磁带信息的承载量。相信在未来,莫比乌斯环会带给我们更多的惊喜。

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