出入相补原理蕴含了什么的数学思想方法

若问金庸江湖中哪套剑法最厉害，十有八九都会想到“独孤九剑”。那位俨如神话的剑魔独孤求败，终其一生欲求一败而不得，大抵是所有剑客们心向往之的至高境界。其实在数学江湖中也有一套“独孤九剑”，那便是被誉为“中国数学圣经”的《九章算术》，而刘徽便是具有掌控这一剑法人的第一人，尤其证明勾股定理给出“青朱出入图”,将青、朱两块移出,拼入,便很简单地证明了勾股定理。

什么是勾股定理？简而言之就是，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。早在4000多年前，中国的大禹曾在治理洪水的过程中利用勾股定理来测量两地的地势差。西汉的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话:”昔者，周公问于商高。曰：“窃闻乎大夫善数也，请问古者包牺立周天历度。夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？“ 商高曰：”数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以为句广三股脩四径隅五。既方外外半之一矩，环而共盘得成三四五，两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所生也。” 以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”。这就是著名的勾股定理。

而勾股定理作为我国古代数学的伟大成就之一，值得我们每位中国人为之感到骄傲，2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽，就用了这图案作为象征。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。我国古代数学家利用割补、拼接图形计算面积的思路提供了很多种证明方法. 体现了出入相补原理独特魅力。

魏晋时期伟大的数学家刘徽用了“出入相补法”即剪贴以形证数 的证明法，他把勾股为边的正方形上的某些区域剪下来(出)，移到以弦为边的正方形的空白区域内(入)，结果刚好填满，完全用图解法就解决了问题。以后的数学家大多继承了这一风格并且有发展，只是具体图形的分合移补略有不同而已。

如上图所示，在直角三角形的勾上作正方形，染上红色（朱方）；在股上作正方形，染上青色（青方）；再在弦上作正方形（弦方）。朱方、青方合起来，与弦方比较，有一大部分是重合的，但朱方多出一个小三角形（朱出），青方多出两个小三角形（青出）。如果能将这多出的三块，恰好填入弦中不足的部分，那么二者的面积就相等。将弦中不足的大三角形分为两个三角形，将“朱出”填入“朱入”，“青出”填入“青入”，那么正好出入相补！故勾方（朱方）与股方（青方）之和等于弦方。“出入相补，各从其类”，这就是刘徽概括并明确表述的原则。称之为“出入相补原理”。

证明核心思想：“勾自乘为朱方，股自乘为为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也，合成弦方之幕，开方除之，即弦也。” 我国著名数学家吴文俊院士通过深入研究后，把以上这些方法用现代语言总结为如下：

这是我国古代数学的经典成就之一，就是善于在实践的基础上，抽象概括出解决问题的一般方法和原理. 是我国古代数学家在解决测量问题的过程中，总结提炼出来的简单明白的原理.

可以这样说，出入相补原理中，“出”意味着面积（或体积）减少，“入”意味着面积（或体积）增加；出入相补，即面积（体积）间的和差关系不变.“出入相补原理”也称割补原理或等积变换原理.

下面举一例，通过用出入相补原理解决有关线段比例的问题，说明古代数学中出入相补原理的应用.

如图，设O是矩形ABCD的对角线AC上任意一点，过点O分别作一组邻边的平行线PQ、SR，直线PQ分别与边AD、BC相交于点P、Q，直线RS分别与边AB、DC交于点R、S，那么PO•OS=RO•OQ.说理如下：

在图中，如果把图形看作由△ACD移置到△ACB处，同时Ⅰ、Ⅱ各移到Ⅰ’、Ⅱ’，那么依据出入相补原理，得：Ⅲ=Ⅲ’（面积相等）.所以PO•OS=RO•OQ.现在，这个结论通常表示为.

在《九章算术》第九章勾股章里，有不少用这9个数中的两个为求出勾、股、弦的问题，它们都是依据出入相补原理解出来的。特别是，我们在第二节中叙述过的勾股数组公式就是应用这个原理于问题十四而求得的。问题十四事实上是已知勾弦和对股的比率而求第三边，刘徽应用出入相补原理给出了证明。

在三国时期吴国的数学家赵爽在注解《周髀算经》时也给出了类似的定理，古人将直角三角形两直角边和斜边分别叫做勾、股、弦，于是有了东方数学的“勾股定理”。最早对勾股定理进行证明的，便是这位赵爽。他创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，巧妙地证明了勾股定理。他把三角形涂成红色，其面积叫“朱实”，中间正方形涂成黄色叫做“中黄实”，也叫“差实”。他写道︰“按弦图”，又可勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差相乘为中黄实，加差实，亦称弦实。

赵爽这一简洁优美的证明，可以看作是对《周髀算经》中紧接在“勾三股四弦五” 特例之后的一段说明文字的诠释，《周髀算经》的这段文字说：“既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三、四、五。两矩共长二十有五，是谓积矩”。

赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。

赵爽是中国古代最早对数学定理和公式进行证明与推导的数学家之一，他在《周髀算经》书中补充的“勾股圆方图及注”和“日高图及注”是十分重要的数学文献。在“勾股圆方图及注”中他提出用弦图证明勾股定理和解勾股形的五个公式；在“日高图及注”中，他用图形面积证明汉代普遍应用的重差公式，赵爽的工作是带有开创性的，由于他取得的成就，在中国古代数学发展中占有重要地位。赵爽与刘徽的工作为中国古代数学体系奠定了理论基础。

同样是勾股定理，中国数学家们也没止步于定理的发现，而是在如何证明上不断提出更简洁更明显的方式。

应该知道是，在《数书九章》里，有一个三角形三边求面积的公式：

显然它与 Heron 公式等价，但形式复杂，而 Heron 公式优美简洁。当然，前者不会从后者推导出来。应用《九章算术》中问题十四的公式，依据出入相补原理，笔者按照中国传统数不的思路，自然地重新证明了秦九韶的这个公式。

我们强调，中国传统的求（平方和立方）根及解方程的方法实质上都依据了出入相补原理这个几何特性的原理。我们还强调，《海岛算经》中极难理解的公式，乃是应用出入相补原理自然而然得到的结果。若应用欧几里得的方法，则似乎很难推出这些公式，或者至少是非常迂回曲折和极不自然的。

我们来看清朝初年的数学家梅文鼎的证法，如图所示，将以边长为c的正方形切割成三个部分：三角形GAH、三角形ABC和不规则的图形（白色部分），然后分别将两个直角三角形移动到EBD和GEF位置，我们发现原先正方形的面积c²，恰好成为边长为a的正方形BCPD和边长为b的正方形GHPF，我们便又可以得到定理的证明。

比如下面著名画家达芬奇的证明方法是用两张一样的纸片拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，利用求两个空洞面积的表达式相等证明出勾股定理，有着中国传统面积法证题的韵味，是巧合还是借鉴？（近年来有研究表明：意大利文艺复兴复兴很多作品和发明与古代中国发明有内在联系）.

连接BE、CF交于点G，有四边形ABGF、四边形GCDE均为正方形，

连接B’F’、C’E’，有四边形B’C’E’F’为正方形，

设正方形ABGF的边长=A’B’=D’E’=a，

正方形GCDE的边长=A’F’=C’D’=b，

BC=EF=正方形B’C’E’F’的边长=c，

则多边形ABCDEF的面积=正方形ABGF的面积+正方形GCDE的面积+2×△BCG的面积

=a²+b²+2(ab÷2)=a²+b²+ab，多边形A’B’C’D’E’F’的面积=2×△A’B’F’的面积+正方形B’C’E’F’的面积=2(ab÷2)+c²=ab+c²，又因为两个空洞面积相等，即a²+b²+ab=ab+c²，所以化简可得a²+b²=c²，由此证得勾股定理。

晚清数学家华蘅芳在年少时代给出了22种证明，（这里列举3种）

中国古代数学家们对于勾股定 理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和 地位。尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新 的重大意义。事实上，“形数统一”的思想方法正是数学发展的一个极其重要的条件。正如当代中国数学家吴文俊所说：“在中国的传统数学中，数量关系与空间形式往往是形影不离地并 肩发展着的……，十七世纪笛卡儿解析几何的发明，正是中国这种传统思想与 方法在几百年停顿后的重现与继续。”

在我国古代几何中，出入相补原理得到的结论是解决测量问题的基本依据.出入相补原理除了用于解决线段比例问题外，还在勾股定理、体积理论、球体体积乃至数的开方等方面，有非常经典的运用.

出入相补原理起源于《算数书》、《九章算术》编纂的时代，是我国劳动人民智慧的结晶.不过，现传最早的记载在赵爽《周髀算经注》的勾股圆方图说与刘徽《九章算术注》的方田、少广、商宫、勾股等章中，通过把这一原理应用于解决多种多样的问题，我国古代建立了相应的几何体系，形成了几何学的一个特色.

可以说中国数学对世界的影响主要体现：数学活动有两项基本工作—-证明与计算，前者是由于接受了公理化（演绎化）数学文化传统，后者是由于接受了机械化（算法化）数学文化传统。在世界数学文化传统中，以欧几里得《几何原本》为代表的希腊数学，无疑是西方演绎数学传统的基础，而以《九章算术》为代表的中国数学无疑是东方算法化数学传统的基础，它们东西辉映，共同促进了世界数学文化的发展。