苦行说：我的数学专业学习之旅

作者，MathRoc，哆嗒数学网群友

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求学是苦行之旅，需要去征服一座又一座崇山峻岭。幸运的是我征服了第一段矮坡，在此我想分享自己的学习历程。“学说”一题极为宏大，学浅才疏使我力有不逮，故此写下这篇不甚成熟的“苦行说”，望大家多指点。

诗人林珊在《山行》中写道：“我还是去得晚了一些‖满山的黄叶已经落尽了‖只有风，从山顶袭来‖枯草里的星辰是什么时候撒下的‖瓦楞上的残雪是什么时候落下的‖香山寺的钟声也无法给予我‖想要的答案”。或许这正是我本科四年的学习生活的真实写照。

当我初踏入大学校园时，草平雨新路无尘，一切都是可爱的模样。但入学后我发现自己与数学系的学生之间有很大的差距。他们或是在高中便已学完大一、大二的内容，或是在竞赛中取得了很好的成绩，少数则在初中时便学习了大学内容，一言以蔽之，有深厚的数学基础和非凡的学习能力。当时的我想迅速追赶，但竭尽所能也难以望其项背，从此便进入了漫长的迷茫期。

起初未接触数学系的同学，自然不知道需要在何阶段读何书，我便试图同时看多门课的入门书。尽管举步维艰，我仍在坚持，去教室的路上、吃饭时、睡前，无时不在看书。我仍以高中形成的观念来看待“怎样才算学会了”——题目可以不费力地独立解决，也曾四本书并进，正文能懂但对题目畏葸不前，就此断定是因太笨没学会。于是换书来啃，一个月内如此往续，应有10本以上，比如数学分析、高等代数、解析几何、概率论、组合数学、图论、近世代数、实分析。现在看来，所选的书是最难的那一批，所做的皆为无用功。

经此一役，我向很厉害的学弟请教，他指出我应该先读大一内容——数分、高代，并分别推荐了史济怀、李炯生(号称亚洲最难)的教材。诚然，对已有基础或学习能力强的人来说，它们确是非常不错的入门教材。但对当时基础千疮百孔的我而言，这无疑是一剂虎狼猛药。

我再次被习题拦在了门外，但也开始主动寻找“没学明白”的症结所在。我发现，对教材难度预设的太高，我应该选择更合适的书。自此，踏上了寻找适合自己的书籍的漫长历程。

迷茫时期持续了近两年，为此付出的代价也是不小的。此间我为转数学系辗转奔波过，比如咨询教务处老师、给校长信箱写信以期有一次转专业考核的机会。转专业政策是只看原专业的排名，或有省级以上的竞赛证书等的证明，因此所有努力是徒劳的。在朋友的劝慰下我走出了这段晦暗的时期，继续踏上那条前路似无光的寻书之旅。奇迹的是，我此后竟未被生活击倒过。

在大二、大三时专业基础课愈来愈多，留给自学的时间也日渐递减。我选择将更多的精力投入到自学中，自然而然挂了好几科。然而，与此同时我走出了迷茫期和寻书之旅，并确定了当时喜欢的方向——概率论。我用了几个月的时间初学了一些书籍，如王梓坤《概率论基础及其应用》、Durrett的概率论、JunShao的数理统计和Ross的随机过程。

后来在阅读了潘承洞先生的《阶的估计基础》后，我发现更喜欢的是一直在被偏废的渐近分析。我是足够幸运的，因为我能比一些朋友更早知道自己的兴趣爱好；我也应该省思，因为这一过程耗费了本应绽放的青春。

大三下、大四上开始为考研准备，但择校成为了最大的问题。我的兴趣尚算广泛，准确来说很偏(渐近分析、特殊函数、解析数论)，含解析数论方向的学校大多考研难度大，而含前两者的学校几乎没有，所以备选的学校很少。在一番衡量后我选择解析数论方向，正当满心欢喜地备考时，专业课来了。在大一到大三上，我们都在学习专业基础课，大三下开始才学习真正的专业课。这对我来说，无疑是极大的考验。

当我全部通过以后，迷茫期的代价姗姗来迟——机械制图与机械设计是对我而言最难的两门课，它们需要重修，此时距考研初试只有一月余。经过一番思想斗争，我决定放弃考研，并竭我所能通过它们，最终如愿以偿。

如果用一个词概括大学生活，我选择“俯拾仰取”，即一举一动都有收获。在社团活动中，我负责心理协会的公众号运营与青年报的评论撰写，这些活动让我明白了什么是“因热爱而坚持”；在网络平台上，我学会了写博客和运营自己的数学公众号，我从中体会到了什么是“因坚持而热爱”。我的大学生活是云层下的折光，指引着我走向成熟，我将永志不忘这四年时光。

等毕业后，也就是去年，我全身心地投入考研，现在已被志愿高校拟录取。不太恰当地说，“细思皆幸矣，下此便翛然”。当然，不取“老”之意。

学习历程皆陈于此，接下来我想聊聊网络数学竞赛。

第一次接触它是在参加Xionger网络数学竞赛(下称：熊赛)，值得一提的是熊赛自其诞生就广受关注与好评，但唯一的败笔是近几年的分数和最终排名未能公布。我参加的是第二届，当时高手如云，题目值得玩味，而后一届题目数量翻倍，加之熊哥平时很忙、供题人集不全，赛后题目便改不完了。我只参加了一届熊赛，此后没有参加网络竞赛与各种线下竞赛。但我举办过两届团子杯网络数学竞赛，也为熊赛和八一杯数学竞赛供过题。当然，Binger杯数学竞赛也没落下，但是举办者处于半退网状态，第二届也便没举办起来。

在我看来，网络数学竞赛应是一场盛筵，智者得以提升，慧者得以洞悉，而平庸者如我得以开阔眼界、培养文献检索能力以及与更多人交流。

谈谈我的经验吧！起初我在各种习题书中寻找偏难怪的题目，但转念一想，网络竞赛不是要选拔人才，也不是真正的竞赛，而是出题人与答题者互相学习交流的一次绝佳的机会。于是我转向寻找趣味性、普适性的问题。为熊赛和八一杯提供的是难题，自然无人答出，此后我多次反思，决定降低难度、仍保持普适趣味性但架构纸老虎——能用简单知识解决的难题，这一次又给八一杯献上两题，后来发现每题都有人给出正确解答，甚至给出了新解法。

我在大二时开始运营数学公众号。起初用AxMath来编写公式再生成图片上传平台，但这样会使排版很乱。接下来我学用LaTeX，将编译出的文件截图再上传，这一阶段收获颇丰。后来我发现之前的文章美观与简陋并存，一狠心便注销了公众号，然后重新注册，用mdnice网页的粘贴功能开始了美观之旅。

我编写过《阶的估计基础》习题解答，此过程可谓“大胆假设，小心求证”。想我所敢想，但也向诸多朋友、学长请教，以保证解答的严谨性。

网络上数学的小圈子里常称彼此为“数学人”。那么，究竟怎样才算一个合格的“数学人”呢？在我看来，这与“数学”和“人”密不可分。我们不仅仅需要“数学品位”和“数学钻研”，更需要向人请教和适当的人际交往。

请允许我讲一些关于学习的粗浅的见解：

1. 不忘初心 或许忘掉了不少曾学过的理化生知识，但我时刻不敢忘初心。我是一个愚笨的人，没有数学天赋，对数学是喜欢但谈不上热爱。且听我言，一位好朋友的室友本科在北大医学系读书，后来拿到了医、数双学位，目前是基础数学的在读硕士。与他相比，我面前的高山只算缓坡。每个人的路应由自己走，学习也应是自己的事。莫论他人是如何渡过困厄的，就个人而言，走出迷茫和困厄的最好的办法便是不忘初心。

2. 保持热情 我也曾懈怠，但这只会使我胸无点墨。以我为例，我的热情之火被屡次碰壁的经历所磨灭，由是学习效率低下，只能用比别人更多的时间来弥补学习上的亏空，这也让曾经的我信心大减。即使面临窘境，也请务必保持热情，请相信我的诗中写的“我的肩上落有闪着青光的萤火，它能带来满天的星光，映衬着天上的云雨声、海上的风涛声”。

3. 广交诤友 我很幸运地交到了一群诤友，但为此也很惭愧，因为他们给予了太多的帮助而我帮不上他们。在我失落时，他们会安慰我；在我不知道如何进一步学习时，他们给予中肯而详尽的建议。人生之途漫漫，一定孤独，但有了诤友，未来不会再黯淡，至少它能开出苦涩的花，不是吗？

4. 莫羡他人 准确地说，不要只羡慕他人的成功，不要总攀比。这些年我见到了很多不良的学习风气，比如“膜”“卖弱”，意即不论别人如何都去膜拜、不论如何都说自己水平很低；再如“如何评价”，意即如下的现象：常问如何评价某人才大二就这么厉害，每年都问如何评价期末考试题目这么难等等。这些既不利于学习，也不利于生活。学习是一条崎岖蜿蜒的山路，你既需要攀登，也需要抵制崖间的花香诱惑。

苦行之旅，应旷达随性。席慕蓉在《诗的旷野》里写道：“文字并非全部‖生活也不是 我们其实‖不需要逼迫自己‖去证明这一生的意义和价值‖在诗的旷野里‖不求依附 不去投靠‖如一匹离群的野马独自行走‖其实 也并非一无所有‖有游荡的云 有玩耍的风‖有潺潺而过的溪流‖诗 就是来自旷野的呼唤‖是生命摆脱了一切束缚之后的‖自由和圆满”。

苦行之旅，应常省思。我现在能独立地发现学习中暴露出的一些问题，比如自卑、易懈怠。我为自己开了一剂良方“悟学知心，斩棘披荆”，要不断地了解自己，要有迎难而上的决心。当我上下求索时，收获或许很少但成长很快，我有勇气也有信心去迈向未来。

一篇浅薄但不短的《苦行说》致我，也献给求学的你。

起初未接触数学系的同学，自然不知道需要在何阶段读何书，我便试图同时看多门课的入门书。尽管举步维艰，我仍在坚持，去教室的路上、吃饭时、睡前，无时不在看书。我仍以高中形成的观念来看待“怎样才算学会了”——题目可以不费力地独立解决，也曾四本书并进，正文能懂但对题目畏葸不前，就此断定是因太笨没学会。于是换书来啃，一个月内如此往续，应有10本以上，比如数学分析、高等代数、解析几何、概率论、组合数学、图论、近世代数、实分析。现在看来，所选的书是最难的那一批，所做的皆为无用功。

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